Argomenti del Corso

• Spazi vettoriali su R o C
• Definizione e prime proprietà.
• Nozione di dipendenza lineare.
• Sistema di generatori.
• Spazi vettoriali di dimensione finita.
• Base.
• Teorema della dimensione.
• Prodotto scalare canonico in Rn.
• Sottospazi.
• Span.
• Proiezione su un sottospazio.
• Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
• Matrici.
• Prodotto matriciale.
• Matrici quadrate come esempio di algebra non commutativa.
• Determinante di una matrice quadrata.
• Definizione.
• Formule di Laplace.
• Proprietà del determinante.
• Matrici invertibili.
• Dipendenza lineare delle righe (o colonne) di una matrice non invertibile.
• Teorema di Binet. Rango di una matrice.
• Definizioni e proprietà.
• Determinazione del rango di una matrice.
• Sistemi lineari.
• Metodo di eliminazione di Gauss.
• Teorema di Rouché – Capelli.
• Matrici e applicazioni lineari.
• Matrice associata a una applicazione lineare.
• Cambiamento di base.
• Cambiamento della matrice associata a un endomorfismo mediante un cambiamento di base.
• Autovalori e autovettori di una matrice quadrata.
• Polinomio Caratteristico.
• Matrici simmetriche.
• Teorema spettrale (senza dim.).
• Coniche.
• Classificazione delle coniche.
• Coniche degeneri.
• Cenni sulle proprietà geometriche delle coniche.
• Riconduzione dell’equazione alla forma canonica con un cambiamento di variabile affine.
• Funzioni di più variabili reali.
• Limiti.
• Continuità.
• Derivate parziali e direzionali.
• Gradiente.
• Differenziabilità di una funzione di più variabili.
• Teorema del differenziale totale.
• Punti stazionari.
• Max e min liberi.
• Matrice Hessiana.
• Teorema di Schwarz.
• Max e min liberi (cond. suff.)
• Teorema delle contrazioni.
• Equazioni differenziali ordinarie.
• Problema di Cauchy.
• Teorema di esistenza e uncità locale per il problema di Cauchy (Picard).
• Cenni sul metodo della poligonale.
• Esercizi sulle eq. diff. lineari a coefficienti costanti.
• Esercizi su eq. diff. riconducibili a eq. lineari mediante sostituzione.