Analisi Matematica

Argomenti del Corso

• Assioma
• Concetto primitivo
• Definizione
• Teorema
• Dimostrazione
• Dimostrazione diretta
• Dimostrazione per assurdo
• Il Sillogismo
• Illustrazione di alcuni principali errori di tipo logico nelle inferenze
• Presentazione assiomatica dei numeri naturali
• Il principio di induzione
• Esercizi sul principio di induzione
• Esercizi sulle nozioni elementari di combinatoria
• Il binomio di Newton
• Rudimenti di teoria degli insiemi
• Relazioni di equivalenza e d’ordine
• Costruzione degli interi relativi
• Proprietà di anello di Z
• Costruzione dei numeri razionali
• Proprietà di campo di Q
• Costruzione dei numeri reali come sezioni del campo razionale
• R è un campo ordinato, archimedeo e continuo
• Estremo superiore e inferiore di un sottoinsieme di R
• Numeri complessi
• Forma algebrica
• Modulo di un numero complesso
• Proprietà di campo di C
• C non è un campo ordinato
• Argomento di un numero complesso
• Comportamento di modulo e argomento nella moltiplicazione di due numeri
• Complessi
• Forma trigonometrica di un numero complesso
• Potenza di un numero complesso
• Formule di De Moivre
• Estrazione della radice n-esima di un numero complesso
• Equazioni algebriche
• Chiusura algebrica di C
• Cardinalità di un insieme
• Cardinalità del numerabile e del continuo
• Distanza e spazi metrici
• Nozioni di topologia in spazi metrici
• Topologia euclidea su R
• Funzioni
• Funzioni iniettive, Suriettive, Invertibili
• Funzioni reali di variabile reale
• Grafico di una funzione
• Riepilogo di alcuni grafici di funzioni elementari
• Successioni di numeri reali
• Limite di una successione
• Unicità del limite
• Teorema del confronto
• Teoremi sulle proprietà algebriche dei limiti
• Limiti di successioni monotone
• Numero di Nepero. Esempi ed esercizi
• Successioni divergenti
• Forme indeterminate
• Limiti notevoli
• Massimo e minimo limite di una successione
• Proprietà caratteristiche
• Limiti di funzione
• Teorema ponte
• Concetto di infinitesimo e di infinito
• Notazione di Landau
• Principio di sostituzione degli infinitesimi
• Funzioni continue
• Discontinuità eliminabili, a salto, essenziali
• Teorema degli zeri
• Teorema dei valori intermedi
• Sottoinsiemi compatti negli spazi metrici
• Caratterizzazione dei compatti di R. Teorema di Weierstrass
• Caratterizzazione delle funzioni continue e invertibili definite su un intervallo chiuso
• Derivata
• Definizione e Significato geometrico della derivata
• Derivabilità e continuità
• Proprietà algebriche
• Max e min relativi di funzioni derivabili
• Teorema di Fermat
• Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange
• Derivata della funzione composta e della funzione inversa
• Derivate successive
• Classi Ck
• Studio del segno della derivata prima
• Concavità e convessità
• Studio del segno della derivata seconda
• Formula di Taylor
• Formula di Mac laurin
• Sviluppi di Mac Laurin delle principali funzioni elementari
• Applicazione della formula di Taylor
• Principio di sostituzione degli infinitesimi per la risoluzione di limiti
• Studio di funzione
• Funzioni a scalino
• Integrabilità e integrale secondo Riemann
• Prime proprietà dell’integrale
• Ulteriori proprietà dell’integrale
• Integrale su un intervallo
• Teorema della media integrale
• Funzione di Dirichlet
• Teorema fondamentale del calcolo integrale
• Integrazione per parti
• Formula di cambiamento di variabile
• Integrali della funzioni razionali (metodo di Hermite)
• Integrali riconducibili a integrali di funzioni razionali
• Integrali impropri
• Serie numeriche
• Serie geometrica
• Serie di Mengoli
• Condizione necessaria per la convergenza
• Serie numeriche a termini di segno costante
• Teorema del confronto
• Criteri di convergenza: rapporto, radice, condensazione
• Serie numeriche a termini di segno qualunque
• Assoluta convergenza
• Criterio di Leibniz, ulteriori criteri
• Incondizionata convergenza
• Equivalenza tra incondizionata e assoluta convergenza